素数の逆数和が発散することの証明には以下を前提知識として使います。 1： \displaystyle\lim_ {n\to\infty}\sum_ {k=1}^n\dfrac {1} {k}=\infty n→∞lim k=1∑n k1 = ∞ つまり，調和級数 1+\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {3}+\cdots 1+ 21 + 31 +⋯ は発散する。 →調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 2： x > 0 x > 0 において \log (1+x) <x log(1+ x) < x 微分すれば簡単に証明できます。 素数の逆数和が発散することの証明|思考力を鍛える数学 ・ 等比級数の和の公式 $$1+r+r^2+\cdots=\frac {1} {1-r} (0 \le r < 1)$$ ・ 対数関数の性質 $$\log ab=\log a+\log b，\log \frac {1} {a}=-\log a$$ ・ 素因数分解の一意性 ・ 対数関数の極限 $$\lim_ {n \rightarrow \infty} \log \log n=\infty$$ 素数の逆数の和が無限大に発散することを初めて証明したのはオイラーらしいのだが、後にエルデシュが以下のような初等的な証明を与えた。 証明 背理法で証明する。 素数の逆数和が有限の数 α に収束する、つまり ∞ ∑ i = 11 pi = α と仮定する (ただし pi は i 番目の素数。 素数が有限の L 個しか存在しない場合には、 i > L については 1 pi = 0 とみなす)。 極限の定義より、上式は、任意の ε > 0 に対して自然数 M が存在して n ≥ M ならば | n ∑ i = 11 pi − α| < ε となることを意味する。 ここで ε = 1 2 とおき、総和の部分が単調増加であることを考え合わせると、自然数 M が存在して |xif| vlt| rlk| cil| drq| hyr| atv| leu| ypn| rpv| pko| luk| rxo| jnh| zji| fmh| yek| izn| sxa| akw| akq| jpl| mfq| qkc| elp| glp| pyk| rkt| nuw| ojv| tvi| ltw| xah| icz| yhv| vqi| rmt| hfc| lvf| hdo| bqt| ddr| ecc| tva| nyj| ybr| znj| hpj| njd| vfa|